DLT(Direct Linear Transformation：直接線形変換) - じんじろげのジロジロモニタ

幾つか記事を見たり、文献を観たいしたけどいまいちわからなかったので整理。

特異値分解(SVD)を用いて最小二乗法によりHomographyを求める。

$x'_i=Hx_i$
明らかに
$x'_i \times Hx_i=0$
(これは $|a| \times |a|=0$ より明らか)
${\displaystyle H = \left( \begin{array}{ccc} h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} h_1^{\mathrm{T}} \\ h_2^{\mathrm{T}} \\ h_3^{\mathrm{T}} \end{array} \right) }$
と置くと
${\displaystyle Hx_i = \left( \begin{array}{c} h_1^{\mathrm{T}} x_i\\ h_2^{\mathrm{T}} x_i\\ h_3^{\mathrm{T}} x_i \end{array} \right), x'_i = \left( \begin{array}{c} x'_i\\ y'_i\\ w'_i \end{array} \right) }$
よって、クロス積の定義より
${\displaystyle x'_i \times Hx_i = \left( \begin{array}{cc} y'_i h_3^{\mathrm{T}} - w_i' h_2^{\mathrm{T}} x_i\\ w'_i h_1^{\mathrm{T}} - x_i' h_3^{\mathrm{T}} x_i\\ x'_i h_2^{\mathrm{T}} - y_i' h_1^{\mathrm{T}} x_i \end{array} \right) = 0 }$
これを書き換えると
${\displaystyle x'_i \times Hx_i = \left( \begin{array}{ccc} 0^{\mathrm{T}} & -w'_i x_i^{\mathrm{T}} & y'_i x_i^{\mathrm{T}} \\ w'_i x_i^{\mathrm{T}} & 0^{\mathrm{T}} & -x'_i x_i^{\mathrm{T}} \\ -y'_i x_i^{\mathrm{T}} & x'_i x_i^{\mathrm{T}} & 0^{\mathrm{T}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \end{array} \right) = 0 }$
H はn倍しても等価なので最後の行は削除できる。
$x'_i$ は同次座標系なので $w'_i=1$ ととると
${\displaystyle \left( \begin{array}{ccccccccc} 0 & 0 & 0 & -x_i & -y_i & -w_i & y'_i x_i & y'_i y_i & y'_i w_i \\ x_i & y_i & w_i & 0 & 0 & 0 & -x'_i x_i & -x'_i y_i & -x'_i w_i \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \end{array} \right) = 0 }$
$w_i=1$ と置く。また、各要素がゼロになるので符号をそろえて見やすくすると
${\displaystyle \left( \begin{array}{ccccccccc} 0 & 0 & 0 & -x_i & -y_i & -1 & y'_i x_i & y'_i y_i & y'_i w_i \\ -x_i & -y_i & -1 & 0 & 0 & 0 & x'_i x_i & x'_i y_i & x'_i w_i \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} h_{11} \\ h_{12} \\ h_{13} \\ h_{21} \\ h_{22} \\ h_{23} \\ h_{31} \\ h_{32} \\ h_{33} \\ \end{array} \right) = 0 }$
n個の座標を対象にすると下記のようにかける。
${\displaystyle \left( \begin{array}{ccccccccc} 0 & 0 & 0 & -x_1 & -y_1 & -1 & y'_1 x_1 & y'_1 y_i & y'_1 w_1 \\ -x_1 & -y_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & x'_1 x_1 & x'_1 y_i & x'_1 w_1 \\ 0 & 0 & 0 & -x_2 & -y_2 & -2 & y'_2 x_2 & y'_2 y_2 & y'_2 w_2 \\ -x_2 & -y_2 & -1 & 0 & 0 & 0 & x'_2 x_2 & x'_2 y_2 & x'_2 w_2 \\ & & & & \vdots \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} h_{11} \\ h_{12} \\ h_{13} \\ h_{21} \\ h_{22} \\ h_{23} \\ h_{31} \\ h_{32} \\ h_{33} \\ \end{array} \right) = 0 }$
${\displaystyle Mx=0 }$
これを特異値分解(SVD)を使って説く。
つづく。